D. Matrices

행렬과 행렬 연산에 대해 알아보자.

D.1. Matrices and matrix operations

Matrices and vectors

행렬은 숫자의 직사각형 배열이다. A의 전치행렬 A^{T}은 행과 열을 바꾼 것이다. 벡터는 숫자의 일차원 배열이다. 길이 n의 벡터는 n-벡터이다. 표준형 벡터는 열벡터이다. 이의 전치행렬은 행벡터이다. 단위벡터 e_{i}는 i번째 원소가 1이고 나머지가 0인 벡터이다. 영행렬은 전부 0인 행렬이다.

Square matrices

정사각행렬은 행과 열의 수가 같은 행렬이다. 여러 특수 경우가 있는데, 대각 행렬, 단위 행렬, 삼대각 행렬, 상삼각 행렬, 단위 상삼각 행렬, 하삼각 행렬, 단위 하삼각 행렬, 순열 행렬, 대칭 행렬 등이다.

Basic matrix operations

행렬 덧셈, 스칼라곱, 부정, 행렬 뺄셈 등이 기본적 연산이다. 행렬곱호환되는 행렬 A, B간에 가능하다. 이는 A의 열의 수와 B의 행의 수가 같은 경우를 말한다. m x n 행렬과 n x p 행렬의 곱은 c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}로 원소가 정의되는 m x p 행렬이다. 길이가 같은 행벡터와 열벡터의 곱은 내적이라 하며 스칼라이다. 길이가 같은 열벡터와 행벡터의 곱은 외적이라 하며 n x n 행렬이다. 벡터의 유클리드 노름은 그 자신과의 내적, 즉 길이의 제곱근이다.

D.2. Basic matrix properties

Matrix inverses, ranks, and determinants

정사각행렬에 대해 곱해서 단위행렬이 나오는 행렬을 역행렬이라 하며 A^{-1}로 표기한다. 역행렬이 없는 행렬은 비가역 또는 특이행렬이라 한다. 역행렬이 있으면 가역 또는 비특이행렬이라 한다. 벡터들의 경우 선형결합의 계수가 전부 0이 아니면서 선형결합값을 0으로 만드는 계수가 있다면 선형종속이라 한다. 선형종속이 아닌 벡터들을 선형독립이라 한다. 0이 아닌 m x n 행렬의 열계수는 열벡터 중 선형독립인 최대 집합의 크기이다. 행계수는 행벡터 중 선형독립인 최대 집합의 크기이다. 이 둘은 항상 같으므로 간단히 계수라고 한다. 정사각 행렬 n x n은 계수가 n이면 계수가 꽉 찼다고 한다. m x n 행렬은 계수가 n이면 열계수가 꽉 찼다고 한다.

Theorem. 정사각 행렬이 계수가 꽉 찬 것은 비특이인 것과 동치이다.

A의 영벡터는 Ax = 0으로 만드는 영이 아닌 벡터이다.

Theorem. A의 열계수가 꽉 찬 것은 영벡터가 없음과 동치이다.

Theorem. 정사각 행렬이 계수가 꽉 찬 것은 영벡터가 없음과 동치이다.

정사각행렬 A의 ij 소행렬식은 i번째 행과 j번째 열을 삭제했을 때 얻어지는 (n – 1) x (n – 1) 행렬이다. 이 때 공인자 (-1)^{i+j} a_{ij} det (A_{[ij]})에 대해 그 합 \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} det (A_{[1j]})행렬식이라 한다.

Theorem. (Determinant properties) 정사각행렬의 행렬식은 다음의 성질을 갖는다.

  • 행이나 열 중 하나가 영이면 det(A) = 0
  • 행이나 열 중 하나가 스칼라 λ로 곱해지면 det(A)도 λ배
  • 한 행/열이 다른 행/열에 더해지면 det(A)는 바뀌지 않음
  • det(A) = det(A^{T})
  • 한 행/열이 다른 행/열과 교환되면 det(A)는 -1배
  • det(A)det(B) = det(AB)

Theorem. 정사각행렬의 행렬식이 0인 것은 특이인 것과 동치이다.

Positive-definite matrices

정사각행렬은 모든 0이 아닌 벡터 x에 대해 x^{T} A x > 0이면 양의 정칙이라 한다.

Theorem. 열 계수가 꽉 찬 행렬에 대해 A^{T}A은 양의 정칙이다.